Средние величины и показатели вариации

Задача за 100 руб.

Для контроля за качеством поступившей партии товара произведено 5%-ное выборочное обследование. При отборе в выборку образцов по схеме механического отбора получены следующие данные о содержании влаги:

Влажность, %

Количество образцов

До 14

20

14-16

30

16-18

25

18-20

20

20 и выше

5

Итого

100
Определите:
1. Средний процент товара влажности.
2. Показатели вариации (абсолютные и относительные).
3. Моду и медиану.
4. При условии, что к нестандартной относится продукция с влажностью до 14 %, установите для всей партии с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса нестандартной продукции.
5. Установите с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего процента влажности для всей партии товара.
6. Постройте гистограмму распределения.
7. Сделайте выводы.
Решение
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

где xi - значение влажности,
fi - количество образцов.
Среднее линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятых по абсолютной величине отклонений всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности:

Дисперсией называется средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:

Среднее квадратическое отклонение - это показатель вариации, характеризующий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии:

Произведем дополнительные расчеты в таблице для получения средних величин.
 

xi

fi

xifi

1

13

20

260

3,2

64

10,24

204,8

2

15

30

450

1,2

36

1,44

43,2

3

17

25

425

0,8

20

0,64

16

4

19

20

380

2,8

56

7,84

156,8

5

21

5

105

4,8

24

23,04

115,2
 

85

100

1620

12,8

200

43,2

536
В результате получим следующие значения:




Вычислим относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции:
Линейный коэффициент вариации:
Коэффициент вариации:
3. Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.
Для интервального вариационного ряда определяется по формуле:

где xMo - нижняя граница значения интервала, содержащего моду;
hMo - величина модального интервала;
fMo - частота модального интервала;
fMo - 1 - частота интервала, предшествующего модальному ;
fMo + 1 - частота интервала, следующего за модальным ;

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.
Для интервального вариационного ряда определяется по формуле:

где xMe - нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;
hMe - величина медианного интервала;
 - сумма частот;
SMe - 1 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
fMe - частота медианного интервала.

4. При условии, что к нестандартной относится продукция с влажностью до 14 %, установите для всей партии с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса нестандартной продукции.
Возможные пределы, в которых ожидается доля нестандартной продукции с влажностью до 14% определим по формуле

где  – предельная ошибка выборочной доли.
t – нормированное отклонение, зависящее от вероятности,
n – объем выборки,
N – объем генеральной совокупности.

Доля продукции с влажностью до 14 %,. равна , вероятность равна 0,954, тогда t = 2

С помощью предельной ошибки выборочной доли определим границы для доли образцов:


с вероятностью 0,954 можно ожидать, что доля нестандартной продукции с влажностью до 14%. будет в пределах от 0,122 до 0,278.

5. Установите с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего процента влажности для всей партии товара
Предельную ошибку выборки рассчитаем по формуле
,
где  – дисперсия выборочной совокупности.
Т.к. вероятность равна 0,997, то t = 3, тогда предельная ошибка выборки равна
.
Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что разность между выборочными (обследованные образцы) и генеральными показателями не превысит 0,451%.
С помощью предельной ошибки выборки определим границы для среднего процента влажности для всей партии товара:
.


с вероятностью 0,997 можно ожидать, что средний процент влажности для всей партии товара будет в пределах от 15,7% до 16,7%.

Hosted by uCoz